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By Robert Sauer

Das vorliegende Buch handelt von partiellen Differentialgleichungen, d. h. von Differentialgleichungen mit zwei oder mehr als zwei unabhangi gen Veranderlichen. Urn eine bestimmte Losung einer partiellen Differen tialgleichung festzulegen, muB guy noch gewisse zusatzliche Daten vor schreiben. Je nach der artwork dieser zusatzlichen Daten spricht guy in gewissen Fallen von Anfangswertproblemen und in anderen Fallen von Randwertproblemen oder von Anfangs-Randwert-Problemen. Ein An fangswertproblem laBt sich z. B. fur die Wellengleichung I x x - I y y = zero stellen (vgl. 2); eine Losung I (x, y) dieser Gleichung liegt etwa in der oberen x, y-Halbebene eindeutig fest, wenn auf der x-Achse als Anfangskurve die Werte von lund der erst en partiellen Ableitung Iy (Anfangswerte) bekannt sind. Ein Randwertproblem kann z. B. fUr die Potentialgleichung Ixx + Ivy = zero gestellt werden (vgl. 1); hier liegt eine Losung I (x, y) etwa im Innern eines Kreises eindeutig fest, wenn guy die Werte von I auf dem Kreis (Randwerte) kennt. Als Bei spiel eines Anfangs-Randwert-Problems sei folgende Aufgabe genannt: Gesucht ist die Losung der Wellengleichung fUr einen in der oberen x, y-Halbebene gelegenen Halbstreifen, der von einer Strecke der x-Achse und zwei zur y-Achse parallelen Halbgeraden begrenzt wird; auf der Strecke der x-Achse sind die Werte von lund Iy (Anfangswerte) vorgegebi)ll, auf den beiden Halbgeraden die Werte von I allein (Rand werte). Anfangs-und Randwertprobleme konnen nicht nach Belieben gestellt werden, sondern fUr gewisse Differentialgleichungen sind nur Anfangswertprobleme, fUr andere nur Randwertprobleme "sachgemaB" .

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Die Grenzen dieser Einflußbereiche (MAcHscheLinien) sind nach Abb. 17) identisch. Auf diese Weise verdeutlichen die Unter- und Überschallströmungen das in § 2 erörterte verschiedene Verhalten der elliptischen Randwertprobleme und der hyperbolischen Anfangswertprobleme. Zweites Kapitel. Differentialgleichungen erster Ordnung. Die Integration einer partiellen Differentialgleichung erster Ordnung läßt sich auf die Integration eines Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen zurückführen. Kapitel II enthält eine kurze Darstellung dieser Integrationstheorie als Vorstufe zum Studium der vom Standpunkte der Anwendungen wichtigeren partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung und der Systeme partieller Differentialgleichungen.

B. als Strömungen um hinreichend schlanke Körper oder in hinreichend großer 30 1. Gegenüberstellung von Anfangswert- und Randwertproblemen. Entfernung von umströmten Körpern vorkommen, ergibt sich aus GI. 16) hierbei bedeutet die MAcH-Zahl M = U/ä das Verhältnis der Gasgeschwindigkeit zur Schallgeschwindigkeit in der Grundströmung. Ersetzt man x durch t und, falls M > 1 ist (Überschall), M2 - 1 durch l/ä 2,s ogeht GI. 16) in dIe zwei dimensionale Wellengleichung Iptt - ä2 (lpYlI + Ipzz) = 0 über.

7). Wenn wir, wie eben verabredet, die den GIn. 1). b) Jede Integralfläche läßt sich von einer 1. parametrigen Menge charakteristischer Streifen erzeugen. Behauptung a) wird in Ziff. 4 präzisiert und bewiesen werden. 40 11. Differentialgleichungen erster Ordnung. Behauptung b) folgt unmittelbar aus Ziff. 1, da nach den GIn. 4) jede Integralfläche von MONGEschen Streifen erzeugt werden kann, und diese den GIn. 7) genügen. Als wichtige Folgerung ergibt sich weiter: c) Wenn ein charakteristischer Streifen ein Flächenelement mit einer Integralfläche gemeinsam hat, ist er identisch mit einem MONGEschen Streifen dieser Integralfläche und gehört ihr daher ganz an.

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